School

Както вече знаеш, ъгловата скорост е псевдовектор - посоката му е избрана по конвенция, което се случва всеки път, когато вкараме векторни произведения. Ако имаме материална точка с радиус-вектор $\vec{r}$, която се върти с ъглова скорост $\vec{\omega }$ около ос, минаваща през центъра на координатната система, то скоростта ѝ е $$\vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}.$$ Моментът на импулса е $$\vec{L}=m\vec{r}\times \vec{v}=m\vec{r}\times (\vec{\omega }\times \vec{r})$$ Двойното векторно произведение може да се превърне в комбинация от скаларни и обикновени произведения $$\vec{L}=m({\vec{r}}^2\vec{\omega }-(\vec{\omega }\cdot \vec{r})\vec{r})$$ Целта е $\vec{\omega }$ да излезе пред скоби, но това продължава да не ни се получава - $\vec{L}$ и $\vec{\omega }$ може изобщо да не сочат в еднакви посоки. Обаче можем да представим това нещо като произведение на матрица по вектора $\vec{\omega }$: \begin{bmatrix} xx & xy & xz \ yx & yy & yz \ zx & zy & zz \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \omega_x\\omega_y\\omega_z\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xx\omega_x + xy\omega_y + xz\omega_z \ yx\omega_x + yy\omega_y + yz\omega_z \ zx\omega_x + zy\omega_y + zz\omega_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\ y\ z \end{bmatrix} (x\omega_x+y\omega_y+z\omega_z) Деф. Тензорно произведение на векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ е обектът \vec a\otimes\vec b = \begin{bmatrix} a_xb_x & a_xb_y & a_xb_z \ a_yb_x & a_yb_y & a_yb_z \ a_zb_x & a_zb_y & a_zb_z \end{bmatrix} $(\vec{a}\otimes \vec{b}{)}_{ij}=a_i{b}_j$ е $ij$-тата компонента на тензора $\vec{a}\otimes \vec{b}$. Векторите се характеризират с 3 компоненти, но те зависят от координатната система. За да бъде един обект вектор, то трябва не просто да има три компоненти, а и те да се преобразуват по точно определен начин при смяна на координатната система. Аналогично нещо важи и за тензорите.

Физичният смисъл на тензорите е, че изобразяват един вектор в друг. Деф. Скаларно произведение на тензор $\hat{A}$ с вектор $\vec{v}$ е векторът $\vec{u}=\hat{A}\cdot \vec{v}$ с компоненти $u_i={\sum }_j{A}_{ij}{v}_j$. Ако напишем $\vec{u}$ и $\vec{v}$ като матрици-стълбове, това равенство съответства точно на матрично умножение.

Деф. Символ на Кронекер: \hat \delta =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \delta_{ij} = \cases{1, i = j\ 0, i \neq j} $$\hat{\delta }\cdot \vec{a}=\vec{a}$$ Тогава можем да представим $\vec{L}$ като

$$\vec{L}=m({\vec{r}}^2\hat{\delta }-\vec{r}\otimes \vec{r})\cdot \vec{\omega }$$ Деф. Тензор на инерчния момент на система от материални точки е $$\hat{I}=\sum _i{m}_i({\vec{r}}_i^2\hat{\delta }-{\vec{r}}_i\otimes {\vec{r}}_i)$$ За една материална точка \hat I = m \begin{bmatrix} y^2+z^2& -xy & -xz\ -yx& x^2+z^2 & -yz\ -zx& -zy & x^2+y^2\ \end{bmatrix} $$\vec{L}=\hat{I}\cdot \vec{\omega }$$ Забележи, че $\hat{I}$ е симетрична матрица.

Деф. $\vec{a}$ е собствен вектор (eigenvector) на матрицата $\hat{A}$ със собствена стойност (eigenvalue) $\alpha$, ако $\hat{A}\cdot \vec{v}=\alpha \vec{v}$. Геометричен смисъл - действието на матрицата $\hat{A}$ е някаква трансформация на пространството. По направление на $\vec{v}$ обаче тя представлява само разтягане (без завъртане) $\alpha$ пъти.

Свойство. Собствените вектори на симетричните матрици са перпендикулярни. Док. Взимаме два различни собствени вектора: $$\hat{A}\cdot \vec{a}=\alpha \vec{a}$$ $$\hat{A}\cdot \vec{b}=\beta \vec{b}$$ $$\alpha \vec{b}\cdot \vec{a}=\vec{b}\cdot (\hat{A}\cdot \vec{a})=(\vec{b}\cdot \hat{A})\cdot \vec{a}=({\hat{A}}^T\cdot \vec{b})\cdot \vec{a}=\beta \vec{b}\cdot \vec{a}$$ $$(\alpha -\beta )(\vec{b}\cdot \vec{a})=0$$ Или $\vec{b}\cdot \vec{a}=0$, т.е. векторите са перпендикулярни, ли $\alpha =\beta$, т.е. векторите имат еднаква собствена стойност и или са колинеарни, или за цялата равнина, в която лежат, $\hat{A}\cdot \vec{v}=\alpha \vec{v}$ и тогава от тази равнина можем да си изберем перпендикулярни собствени вектори.

Свойство. Собствените стойности на реалните симетричните матрици са реални числа. Док. $$\alpha {\vec{a}}^{\ast }\cdot \vec{a}={\vec{a}}^{\ast }\cdot (\hat{A}\cdot \vec{a})=({\hat{A}}^T\cdot {\vec{a}}^{\ast })\cdot \vec{a}={\alpha }^{\ast }{\vec{a}}^{\ast }\cdot \vec{a}$$ ${\vec{a}}^{\ast }\cdot \vec{a}>0$ при $\vec{a}\ne 0\Rightarrow {\alpha }^{\ast }=\alpha$.

Свойство. Собствените стойности на матрица са решенията на уравнението $\det (A-xE)=0$. Обяснение. Детерминантата на една матрица показва колко пъти се променят обемите от пространството под действие на матрицата. Ако детерминантата е 0, то пространството се смачква до 0 в някоя посока, т.е. става най-много $n-1$ - мерно. Значи има вектори $\vec{v}$, които под действие на $A-xE$ се превръщат в $\vec{0}$ $$(A-xE)\cdot \vec{v}=\vec{0}$$ $$A\cdot \vec{v}=x\vec{v}$$

$det(\hat{I}-x\hat{\delta })=0$ е уравнение от трета степен $\Rightarrow$ има 3 корена, които дават 3 собствнеи стойности. Понеже $\hat{I}$ е симетрична, собствените стойности са реални и собствените вектори са перпендикулярни. Нека минем в отправна система с оси, насочени по посока на трите собствени стойности. Тогава \hat I = \begin{bmatrix} I_{xx}&0&0\ 0&I_{yy}&0\ 0&0&I_{zz} \end{bmatrix} = m \begin{bmatrix} y^2+z^2&0&0\ 0&x^2+z^2&0\ 0&0&x^2+y^2 \end{bmatrix} $y^2+z^2,x^2+z^2$ и $x^2+y^2$ са си точно разстоянията на материалната точка съответно до осите $x$, $y$ и $z$. Тези оси се наричат главни инерчни оси.